第一百五十章 克萊姆悖論－與線性代數的產生（線性代數）

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雖說數學悖論大多是一些讓人越想越糊塗的邏輯思維遊戲，但也有不少悖論來自於實實在在的數學問題。在缺乏現代數學工具的年代，這些反直覺的結論和看似不可調和的矛盾讓數學家們百思不得其解，那些最難解決的悖論甚至為數學新分支的開創帶來了足夠的動機。不太為人熟知的 cramer 悖論就是一個漂亮的例子。

在描述 cramer 悖論之前，讓我們先來考慮一個簡單的情況。

兩條直線交於一點。

反過來，過一點可以做兩條不同的直線。

事實上，過一點可以做無數條直線。

確定一條直線需要兩個點才夠。

一切都很正常。

現在，考慮平面上的兩條三次曲線。

由於將兩個二元三次方程聯立求解，最多可以得到 9 組不同的解，因此兩條三次曲線最多有 9 個交點。另外，三次曲線的一般形式為

x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0

這裡面一共有 9 個未知係數。

代入曲線上的 9 組不同的(x， y)，我們就能得出 9 個方程，解出這 9 個未知係數，恢復出這個三次曲線的原貌。

也就是說，平面上的 9 個點唯一地確定了一個三次曲線。

這次貌似就出問題了：“兩條三次曲線交於 9 個點”和 “ 9 個點唯一地確定一條三次曲線”怎麼可能同時成立呢？

既然這 9 個點是兩條三次曲線所共有的，那它們究竟會“唯一地”確定出哪條曲線呢？

在沒有線性代數的年代，這是一個令人匪夷所思的問題。

cramer 和 Euler 是同一時代的兩位大數學家。

他們曾就代數曲線問題有過不少信件交流。

上面這個問題就是 1744 年 9 月 30 日 cramer 在給 Euler 的信中提出來的。

在信中， cramer 擺出了兩個稍作思考便能看出顯然成立的事實：一條三次曲線能用 9 個點唯一地確定下來，兩條三次曲線可能產生出 9 個交點。

cramer 向 Euler 提出了自己的疑問：這兩個結論怎麼可能同時成立呢？

Euler 心中的疑問不比 cramer 的少。

接下來的幾年裡，他都在尋找這個矛盾產生的源頭。

1748 年， Euler 發表了一篇題為 Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes （關於曲線規律中的一個明顯的矛盾）的文章，嘗試著解決這一難題。

正如大家所想，矛盾的源頭就是， 9 個點不見得能唯一地確定出三次曲線的方程，因為不是每個點的位置都能給我們帶來足夠的資訊。

Euler 試圖向人們解釋這樣一件事情：曲線上的 9 個點雖然給出了 9 個不同的方程，但有時它們並不能唯一地解出那 9 個未知數，因為有些方程是廢的。

在沒有線性代數的年代，解釋這件事情並不容易。

Euler 舉了一個最簡單的例子：方程組

3x ? 2y = 5

4y = 6x ? 10

表面上存在唯一解，但事實上兩個方程的本質相同——第一個方程乘以 2 再移項後就直接變成第二個方程了。

換句話說，後一個