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1963年。
由於阿諾德對相空間的研究已經走火入魔，看到哪個問題都想用這樣的思路來解決。
他盯上了伽羅華理論，一元五次方程沒有有限根式解的證明。
阿諾德心想，可以拿出一個五次方程，然後對係數進行變化，然後在相空間上描繪出點來。
“方程係數繞一個環路回到原點可能會造成多項式方程根的置換。”
定理是，兩個環路對易式定義的環路會造成根空間裡的環路。
這樣問題就來了，如果根的置換的對易式還是根的置換的話，那代數方程解的公式就必須是巢狀根式的樣子。
若根的置換的對易式之對易式一直是根的置換，那解的根式表達就必須是無限巢狀的樣子。
五次方程沒有有限根式解由此得到了一個拓撲學角度的證明，思路清晰，比伽羅華理論好懂多了。
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