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1922年。
巴拿赫笑說：“若把某國的地圖縮小後印在該國領土內部，那麼在地圖上有且僅有這樣一個點，它在地圖中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。”
烏拉姆說：“還真是，也等價於你拿出地圖，你此刻所在位置必在地圖上的一點。”
巴拿赫說：“我們用嚴謹的泛函分析來表達這個壓縮對映定理。”
烏拉姆說：“這是度量空間理論的一個重要工具。”
巴拿赫說：“這可以保證了度量空間的一定自對映的不動點的存在性和唯一性，並提供了求出這些不動點的構造性方法。”
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